+7(495)506-57-36, +7(968)575-10-99
sovnauka@mail.ru
Опубликовать статью
Контакты
ISSN 2079-4401
Учредитель:
ООО «Законные решения»
Адрес редакции: 123242, Москва, ул. Большая Грузинская, д. 14.
Статей на сайте: 429
Главная
О журнале
О нас
Учредитель
Редакционная коллегия
Политика журнала
Этика научных публикаций
Порядок рецензирования статей
Авторам
Правила и порядок публикации
Правила оформления статей
Правила оформления аннотаций
Правила оформления библиографического списка
Требования к структуре статьи
Права на произведениеЗадать вопрос авторуКонтакты
ЖУРНАЛ
Ноябрь, 2012
2017: 1
2016: 1, 2, 3, 4
2015: 1, 2, 3, 4
2014: 1, 2, 3, 4
2013: 1
2012: 1
2011: 1, 2, 3, 4
2010: 1, 2, 3
ИНДЕКСИРУЕТСЯ
Российский индекс научного цитирования
Google scholar
КиберЛенинка
СОЦИАЛЬНЫЕ СЕТИ
№ 1, 2012
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТРАН МИРА ПО ВВП НА ДУШУ НАСЕЛЕНИЯ: ЭМПИРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ
Автор/авторы:
МАХОВ СЕРГЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ,
кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник отдела 3
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Контакты: Миусская площадь, д. 4, Москва А-47, Россия, 125047
E-mail: s_makhov@mail.ru
ПОДЛАЗОВ АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела 3
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Контакты: Миусская площадь, д. 4, Москва А-47, Россия, 125047
E-mail: tiger@keldysh.ru
УДК: 330.4
Аннотация: В статье проводится исследование распределения стран мира по показателю «валовой внутренний продукт на душу населения». Показывается, что зависимость типа «ранг — размер» для указанного показателя хорошо приближается показательной функцией, что означает равномерное распределение для логарифма этого индикатора. Для объяснения данного факта предлагается и исследуется теоретическая модель взаимодействия агентов. Обсуждаются различные обобщения предложенной модели
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, математическое моделирование, многоагентные системы, равномерное распределение логарифмов, стационарные решения, уравнение теплопроводности обратное во времени
Дата публикации: 31.12.2012
Дата публикации на сайте: 15.03.2017
PDF версия статьи: Скачать PDF
РИНЦ: Перейти на страницу статьи в РИНЦ
Библиографическая ссылка на статью: Махов С.А., Подлазов А.В. Распределение стран мира по ВВП на душу населения: эмпирические данные и теоретическое объяснение//Современная наука. № 1. 2012. С.28-34.
Права на произведение:

Лицензия Creative Commons
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная

1. АНАЛИЗ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Для того чтобы исследовать распределение валового внутреннего продукта на душу населения по странам мира, прежде всего, необходимы источники статистических данных. Были использованы базы данных ООН [2], Всемирного банка [3] и таблицы А. Мэдисона [4]. Наиболее полная информация по всем странам содержится в базе ООН за 1970—2007 гг., поэтому она и использовалась главным образом. Использовались таблицы, показывающие душевой ВВП каждой страны, измеренный в постоянных долларах 1990 г., таким образом, влияние инфляции было нивелировано. По ним в текущем году строилась ранг-размерная зависимость по убыванию размера показателя, т.е. зависимость ВВП на душу населения от ранга, считая, что самый маленький ранг соответствует самому большому значению. При этом ранг отсчитывается с единицы, т.е. все страны упорядочивались в порядке убывания их душевого ВВП; стране, имеющей наибольший душевой ВВП, присваивался ранг «1», следующей по объему ВВП на душу населения стране — ранг «2», и т.д.

Отметим, что еще ранее построение ранг-размерной зависимости для душевого ВВП стран было осуществлено С.Ю. Малковым [5], зависимость была построена для 2003 г. по данным А. Мэдисона. Результаты получились те же, что и в настоящей работе.

В качестве типичного примера на рис. 1 приведен график ранг-размерной зависимости в 2005 г.

Рис. 1. Зависимость «ранг — размер» для ВВП на душу населения стран мира в 2005 г. (отдельные точки-ромбики) и регрессия (сплошная линия). График представлен в логарифмическом масштабе для душевого ВВП, который измеряется в долл. 1990 г. на человека. Ранг изменяется от 1 до 210. Подавляющее большинство точек лежит на линейном участке, выпадают несколько точек в начале и конце графика. Значение коэффициента экспоненты 0,0262 означает, что значение ВВП на душу населения каждой последующей страны уменьшается примерно на 2,6% по сравнению с текущей. Т.е. имеет место геометрическая прогрессия

Как видно, ранг-размерная кривая хорошо приближается показательной функцией, что иллюстрируется нарисованной линией регрессии, имеющей вид прямой в логарифмическом масштабе. Коэффициент детерминации при этом 0,99, что говорит о хорошем соответствии уравнения регрессии и статистических данных. Хотя и имеют место некоторые волнообразные отклонения от линии регрессии и отдельные выбросы на концах, в целом можно считать ранг-размерную зависимость душевого ВВП страны экспонентой. Можно сказать также, что страны, упорядоченные по размеру душевого ВВП, образуют геометрическую прогрессию.

При переходе к эмпирической функции распределения (ЭФР) это означает, что она является линейной для логарифма душевого ВВП, т.е. последняя величина имеет равномерное распределение.

Поясним последнее утверждение, а именно, как по данной зависимости «ранг—размер» построить эмпирическую функцию распределения. ЭФР представляет собой зависимость накопленной относительной частоты (вероятности) от самого значения ВВП на душу населения. Относительная частота — это обычная абсолютная частота, нормированная на количество значений, т.е. количество стран в выборке. Последняя частота есть не что иное как ранг стран, но в обратном порядке, т.е. в порядке возрастания размера душевого ВВП: наименьшее значение получает частоту «1», следующее — частоту «2», последнее, наибольшее значение — частоту «N», равную объему выборки. При переходе к вероятностям (относительным частотам) получатся соответственно значения «1/N», «2/N», … , «1».

Таким образом, по указанному алгоритму можно пересчитать исходные ранги в накопленные относительные частоты. Затем остается поменять оси «размер» и «вероятность» местами; полученная зависимость и есть ЭФР, что иллюстрирует рис. 2.

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения для ВВП на душу населения стран мира в 2005 г. По оси абсцисс — душевой ВВП в логарифмическом масштабе, по оси ординат — вероятность. Линия регрессии — почти прямая линия, что означает логарифмическую зависимость ЭФР

Как видно, ЭФР хорошо приближается логарифмом; это и неудивительно, поскольку ЭФР представляет собой фактически обратную функцию для функции, чей график представлен на рис. 1, но линейно преобразованную.

Таким образом, функция распределения  стран мира по душевому ВВП представляет собой линейно-логарифмическую функцию:

                                                               ,                                                           (1)

где y — душевой ВВП, x — аргумент функции распределения, A, B — параметры зависимости. Плотность вероятности при этом есть функция вида 1/x:

                                                                      .                                                                  (2)

Формулы (1) и (2) имеют смысл, когда область определения обеих функций — положительный отрезок , а не вся вещественная ось, при этом , . Поскольку A < 0, B > 0, то x1 > x0 > 0. Заметим, что плотность вероятности по форме очень близка к виду степенного распределения, в котором переменная x в степени, больше единицы, здесь же степень в точности равна единице. Тем не менее, несмотря на схожесть, это разные распределения.

Степенное распределение, также называемое распределением Парето, хорошо известно в различных областях знания, в частности, по такому закону распределены:

  • частоты слов в естественном языке (закон Ципфа);
  • экономические доходы внутри общества (закон Парето);
  • населенные пункты по численности жителей.

Распределение, описываемое формулами (1), (2) не так часто встречается и не имеет собственного названия. По аналогии с логнормальным распределением его можно было бы назвать логравномерным. Нечто похожее демонстрирует закон Бенфорда [8], описывающий вероятность появления определенной первой значащей цифры в распределениях величин, взятых из реальной жизни. Однако в этом законе само распределение дискретно, а при его выводе предполагается, что логарифмы используемых величин уже равномерно распределены.

Чтобы показать, что утверждение о равномерном распределении логарифма душевого ВВП носит закономерный характер, независимо от времени, были построены регрессии для ранг-размерных зависимостей по всей имеющейся статистике с 1970 по 2007 г. Уравнение регрессии в каждом году:

                                                                  ,                                                              (3)

где y — душевой ВВП, r — ранг страны, a, b — коэффициенты регрессии.

Значение коэффициента детерминации при этом изменяется от 0,96 до 0,99, это означает, что самый характер ранг-размерной зависимости не меняется. При этом коэффициент a сильно зависит от года, коэффициент b не слишком сильно зависит от времени, ведет себя довольно устойчиво. Следовательно, распределение логарифма странового душевого ВВП можно считать равномерным в течение последних 40 лет.

Заметим, что не речь не идет о том, что каждая страна не меняет своего ранга; на самом деле, это не так, конкретные страны в конкретные годы занимают разные места по размеру душевого ВВП, однако вид ранг-размерной зависимости остается прежним.

Резюмируем сказанное: имеется линейный участок на графике зависимости «ранг — размер» для логарифма душевого ВВП отдельных стран; этот эмпирический закон наблюдается в разные годы по статистике ООН.

Далее будет дано теоретическое объяснение этому эмпирическому факту, хотя некоторые выводы можно сделать уже сейчас. Ранг-размерная зависимость носит непрерывный характер, без резких скачков внутри интервала изменения (за исключением краевых эффектов). Это не подтверждает гипотезу разделения стран на кластеры «богатых» и «бедных», т.е. на «центр» и «периферию» [1]. Говоря точнее, на основании душевого ВВП невозможно сделать однозначный вывод о таком разделении: если бы имело место четкое разбиение, то наблюдались бы резкие скачки данного показателя, превышающие погрешность измерений и заметные на фоне колебаний, чего, в общем-то, не наблюдается.

В пользу универсальности логарифмически равномерного распределения, справедливого не только на уровне стран мира при сравнении их между собой, но и для каждой отдельной страны при взаимодействии ее собственных внутренних регионов говорит статистика регионов России. На основании данных Росстата [6] были построены аналогичные ранг-размерные зависимости для валового регионального продукта (ВРП) на душу населения для регионов России. На рис. 3 представлен график этой зависимости в 2008 г.

Рис. 3. Ранг-размерная зависимость для ВРП на душу населения регионов России в 2008 г. Всего 79 регионов. Душевой ВРП измеряется в рублях на человека, график показан в логарифмическом масштабе. Регрессия построена для внутренних точек, отмеченных квадратиками, крайние точки, отмеченные ромбиками, исключены из рассмотрения

Видно, что, несмотря на весьма заметные краевые отклонения, существует довольно протяженный линейный участок для логарифма душевого ВРП отдельных регионов России. График не настолько гладкий, как на рис. 1, имеются более резкие скачки на краях (при малых и больших рангах), так что в данном случае можно с большим основанием предполагать разнородность. Т.е. Россия как совокупность регионов менее однородна, чем мир как совокупность стран в целом.

2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ

В этом разделе будет описана математическая модель взаимодействующих агентов, демонстрирующая логарифмически равномерное распределение.

Пусть имеется дискретная система агентов. Пронумеруем их, начиная с нуля, т.е. 0, 1, 2, … и т.д. Без ограничения общности будем считать, что агентов бесконечно много.

Далее, каждый агент характеризуется переменной величиной, которую мы обозначим латинской буквой u, это душевой ВВП. Считается, что с ростом номера агента i величина ui убывает, т.е. последовательность {ui} убывающая.

Рассматривается два процесса изменения величины u: автономный рост каждого агента и передача части характеристики u от более «бедного» более «богатому». Т.е., от агента с данным номером i агенту с предыдущим номером (i–1), и так далее, по цепочке, вплоть до нулевого агента. Нулевой агент никому ничего не передает.

Это требует небольшого пояснения. Мы предполагаем, что каждый агент взаимодействует с ближайшими соседями, поскольку, условно говоря, они близки по уровню развития технологий (мерой которого может считаться душевой ВВП). Технологически близким странам проще выстроить обменные взаимодействия. Некоторое затруднение может состоять в том, что в реальности страны обмениваются не только с «ближними», но и с «дальними» соседями, а какие-то страны и вовсе обмениваются со всеми.

Все это верно, но при построении идеализированной модели есть резон отказаться от идеи «взаимодействия всех со всеми», сосредоточившись на локальном взаимодействии, поскольку страны воздействуют друг на друга с различной интенсивностью. Т.е., не все связи одинаково сильны и важны, нас интересуют именно сильные связи между странами, понятно, что их немного.

Речь может идти, таким образом, о выборе радиуса взаимодействия агента — количестве более сильных соседей, т.е. агентов, с которыми осуществляется обмен. Если считать, что взаимодействие симметрично, то число более слабых соседей совпадает с числом более сильных соседей, и радиус взаимодействия одинаков в обе стороны. Пока мы рассматриваем ситуацию, когда радиус равен 1, позже будет сказано о случае произвольного радиуса.

Для удобства записи будем полагать, что время течет непрерывно, тогда для изменения характеристик каждого агента можно записать дифференциальные уравнения. Если считать, что передача части величины u от агента к агенту происходит прямо пропорционально разности их характеристик, то можно записать:

                                    .                                 (4)

Дальнейшая спецификация уравнений модели может происходить различными путями, мы рассмотрим самый простой вариант, имея в виду задачу о равномерном распределении логарифма душевого ВВП.

Примем две гипотезы:

1)все функции fi зависят явно только от ui, причем линейным образом, и, к тому же, с одним и тем же коэффициентом пропорциональности: , для нулевого агента , это предположение говорит об автономном экспоненциальном росте каждого агента;

2)все коэффициенты ci, di, отвечающие за скорость передачи и получения характеристики u, постоянны и одинаковы:  (в дальнейшем, для сокращения записи индекс 0 отбросим);

3)последнее условие, между прочим, означает выполнение закона сохранения для характеристики при передаче от агента агенту: сколько передано, столько получено.

Новая запись уравнений:

                                           .                                        (5)

Решать эту систему можно и в таком виде (тем более что она линейная), однако мы сделаем переход от дискретной системы агентов к непрерывной среде, введя переменную x, отвечающую за ранг: . Заменив двойную разность  повторной частной производной , получим уравнение:

                                                                 ,                                                             (6)

справедливое при x > 0. В нуле, при x = 0, величина u(t, 0) должна определяться по непрерывности из данного уравнения в частных производных. Заметим, что задача сформулирована на луче, однако с тем же успехом она может быть сформулирована на отрезке [0, 1], поскольку ранг x может быть преобразован в вероятность, как было показано выше.

Обратим внимание читателя на то, что уравнение (6) очень похоже на уравнение теплопроводности, только коэффициент при второй производной по пространственной переменной отрицателен, т.е. по сути, имеем обратное во времени уравнение теплопроводности. Ничего удивительного в этом нет. Уравнение теплопроводности описывает распространение энергии из данного источника по всему пространству, здесь же, наоборот, «энергия» собирается в центре. Т.е. рассматривается процесс, обратный распространению тепла, поэтому вполне естественно, что, как вариант, он может быть описан обратным во времени уравнением теплопроводности.

Как было исследовано эмпирически, указанная экспоненциальная зависимость размера от ранга имеет место в отдельно взятые годы, более того, характер зависимости остается таким же для разных лет. Следовательно, имеет смысл говорить о стационарном распределении душевого ВВП страны. Изучим поэтому стационарные решения уравнения (6).

Имеем при : , , где . Последнее уравнение — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого выглядит так: .

Константы C1, C2 можно найти из граничных условий, вытекающих из предположений о непрерывности в нуле и конечности суммарной величины u (т.е. конечности интеграла , что соответствует конечности суммарной характеристики): u(0) = u0, u(+∞) = 0.

Тогда получим: , или , где x — ранг агента, т.е. не что иное как формулу (3), в которой положено . Это и означает равномерность распределения логарифма характеристики u.

3. РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ

Уравнение (6), как известно, некорректно: при изменении начального профиля решение может за конечное время уйти в бесконечность [7]. Связано это существенным образом с локальностью взаимодействия агентов. Следовательно, если внести некоторую нелокальность в нашу многоагентную систему, то проблема неустойчивости решения задачи может быть обойдена. Иначе говоря, радиус взаимодействия агентов должен быть больше единицы.

Рассмотрим эту ситуацию в дискретном случае. Обратимся сразу к системе (5), изменения будем проводить для нее. В правую часть добавляются члены аналогичные члену , отражающие взаимодействие с соседями 2-го порядка, т.е. агентами с номерами i+2 и i-2, затем 3-го порядка, и т.д., вплоть до m-го порядка.

                                ,                            (7)

где m — радиус взаимодействия,  — скорости взаимодействия с соседями 1, 2, …, m порядков соответственно, при этом i ≥ m. Уравнения при i < m рассматриваются отдельно, соответственно, возникнут краевые эффекты в решениях системы уравнений, но нас интересуют не они, а зависимости в целом. При исследовании стационарных решений получится система разностных уравнений, при этом достаточно показать, что она допускает частное решение в виде геометрической прогрессии: , причем q < 1. После подстановки и сокращений имеем уравнение, справедливое для всех агентов:

                                                        .                                                    (8)

Получилось алгебраическое уравнение степени 2m относительно величины q, дополнительной подстановкой  его можно привести к уравнению степени m. Иначе говоря, в конце концов, получим , где Pm — многочлен степени m. Последнее уравнение необходимо исследовать на существование положительных решений, более того, для нахождения q из уравнения  требуется, чтобы z > 2. Нетрудно убедиться, что такое решение существует всегда при любых положительных коэффициентах . Обозначим: , при этом , . Следовательно, в силу известной теоремы математического анализа многочлен Pm(z) имеет нуль на интервале (2; +∞).

Таким образом, требование локальности взаимодействия агентов для получения экспоненциального характера ранг-размерной зависимости может быть ослаблено. При этом, однако, гипотеза устойчивости системы уравнений (5) по начальным данным нуждается в проверке.

Теперь попробуем обобщить ситуацию большого радиуса взаимодействия агентов на непрерывный случай. Иначе говоря, попробуем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (7) записать одним уравнением в частных производных по аналогии с (6). Для этого перепишем систему (7), разбив каждую скобку на два слагаемых и собрав в суммы взаимодействие i-го агента с агентами больших и меньших номеров по отдельности. В конечном счете, имеем:

                                        .                                    (9)

Если считать, что радиус m велик, то каждую из обеих сумм в (7) можно приближенно заменить соответствующим интегралом. Тогда:

            ,      (10)

где R — радиус взаимодействия. Таким образом, получилось интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Для упрощения формы записи этого уравнения, сделаем замену во втором интеграле: изменим знак переменной интегрирования. Кроме того, обобщим функции  при 0 < z < R и  при –R < z < 0 одной функцией C(z) при –R < z < R. В итоге получим:

                                    .                              (11)

До сих пор предполагалось, что агентное взаимодействие происходит симметрично, число более слабых соседей совпадает с числом более сильных соседей. Отбросим и это требование. Тогда уравнение запишется так:

                                    ,                              (12)

где R1, R2 — радиусы взаимодействия с более сильными и более слабыми соседями соответственно. Эти величины, вообще говоря, зависят от агента, т.е. от его ранга x, для упрощения ситуации можно считать постоянными и одинаковыми для всех агентов.

Уравнение (12) также может быть видоизменено, поскольку под интегралом находится функция u(tx), не зависящая от переменной интегрирования z. Таким образом, интеграл разбить на сумму двух интегралов:  и , во втором интеграле величину u(tx) можно вынести за знак интеграла, а интеграл  обозначить какой-нибудь буквой, например, γ. Тогда получим еще один вариант уравнения:

                                            ,                                      (13)

где . В таком виде уравнение допускает содержательную интерпретацию, касающуюся интегрального слагаемого в правой части. Интеграл описывает вклад в рост агента ранга x от его взаимодействия с другими агентами, при этом вклад от каждого другого агента пропорционален его собственной характеристике, а не разности характеристик. Это отличается от той идеи, что была положена в основу модели.

Все представленные варианты (10)—(13) интегро-дифференциального уравнения с частными производными, описывающего многоагентную систему, имеют преимущественно теоретический интерес. На практике проще исследовать решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (5) или (9), нежели чем искать частное решение уравнения в частных производных в виде бегущей волны  или находить собственные функции соответствующего интегрального оператора.

4. ЗАМЕЧАНИЯ И ВЫВОДЫ

Заметим, что представленное в статье описание модели довольно абстрактно: мы нигде явно не опирались на экономическую природу рассматриваемых объектов и процессов. Рассуждения носили, скорее, физический характер. Отметим также, что вывод не является вероятностно-статистическим в отличие, например, от теоретического обоснования степенного распределения, предложенного Б.А. Трубниковым [9] и названного им законом конкурентов. Агенты в нашей модели как бы «впаяны» в систему, жестко в нее встроены: они не могут изменить своего места в общей иерархии, в отличие от реальных экономических территориальных единиц. Таким образом, агенты в модели — это, скорее, экономические ниши, упорядоченные в системной иерархии по местам.

В экономике же описанной модели соответствует, по всей видимости, модель неравноценного обмена, когда сильный и богатый экономический агент в силу лучшего развития забирает себе большую долю, чем слабый и бедный. Стоит заметить, правда, что чисто экономические обмены происходят посредством денег (или в натуральной форме), т.е., по сути, являются частью ВВП и вносят свой вклад именно в ВВП. Но изучаемая зависимость относится к душевому ВВП; непосредственно передать часть душевого ВВП физически невозможно. Последний парадокс можно было бы обойти, если считать численность населения каждой страны (агента) одинаковой. Однако в реальности это не выполняется.

Пока мы оставим в стороне этот недостаток модели, укажем лишь на возможность такого объяснения. Численность населения, как правило, меняется медленнее ВВП, т.е. годовой прирост ВВП выше годового прироста численности населения. Поэтому изменение душевого ВВП определяется в большей степени изменением самого ВВП, чем численностью населения, которая в течение года меняется незначительно и может считаться почти постоянной. Вклад, вносимый обменами в ВВП, при делении на численность населения, даст добавку и в душевой ВВП. К тому же в реальности есть потоки миграции, направленные обычно из бедных стран в богатые, это также немного выравнивает ситуацию.

Авторы выражают благодарность О.И. Кривошееву за обсуждение и сделанные замечания в части как теоретического, так и эмпирического материала настоящей работы.

Литература
1. Валлерстайн И. Анализ мировых систем и ситуация в современном мире. СПб., 2001.
2. Базы данных ООН. URL://http://www.data.un.org.
3. Всемирный банк. Индикаторы всемирного развития. URL://http://www.worldbank.org
4. Maddison Historical Statistics for the World Economy. URL://http://www.ggdc.net/MADDISON/oriindex.htm
5. Кирилюк И.Л., Малков С.Ю. Особенности мирового экономического развития: математический анализ статистических данных // Проблемы математической истории: Основания, информационные ресурсы, анализ данных. М., 2008.
6. URL://http://www.gks.ru/dbscripts/Cbsd/DBInet.cgi#1
7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979.
8. Benford F. The law of anomalous numbers // Proceedings of the American Philosophical Society, 1938, vol. 78, № 4.
9. Трубников Б.А. Закон распределения конкурентов // Природа. М., 1993. № 11.
Просмотров: 260 Комментариев: 0
Похожие статьи
  1. ДОЛГОСРОЧНАЯ ЭМПИРИЧЕСКАЯ МАКРОМОДЕЛЬ МИРОВОЙ ДИНАМИКИ
Комментарии
Комментариев пока нет.

Чтобы оставить комментарий, Вам нужно зарегистрироваться или авторизоваться под своими логином и паролем (можно войти, используя Ваш аккаунт в социальной сети, если такая социальная сеть поддерживается нашим сайтом).

Поиск по авторам
Поиск по статьям
ISSN 2079-4401
Учредитель: ООО «Законные решения»
Адрес редакции: 123242, Москва, ул. Большая Грузинская, д. 14.
Если не указано иное, материалы сайта доступны по лицензии: Creative Commons Attribution 4.0 International
Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). Свидетельство о регистрации средства массовой информации ПИ № ФС77-39293 от 30.03.2010 г.; журнал перерегистрирован: свидетельство о регистрации средства массовой информации ПИ No ФС77-70764 от 21.08.2017 г.
© Журнал «Современная наука», 2010-2018